Nummerische Verfahren / Nullstellensuche

1. Verfahren: Wiederholtes Halbieren (Bisektion)

Dieses Verfahren basiert auf einer sehr einfachen Idee. Ein 'fortlaufender' Funktionsgraph y=f(x), dessen Wert f(x0) an der Stelle x0 positiv und f(x1) an der Stelle x1 negativ ist (oder umgekehrt), muss zwischen x0 und x1 die x-Achse schneiden. Durch wiederholtes Halbieren der Strecke x0x1, kann die Nullstelle Schritt für Schritt eingeschlossen werden. Der Mittelwert xneu zwischen x0 und x1 ist einfach zu berechnen:

                        x0 + x1
Mittelpunkt     xneu := -------
                           2

Bisektions Algorithmus:

Eingabe:        f, x0, x1
Voraussetzung:  f(x0)*f(x1)<0
(* => Unterschiedliche Vorzeichen *)

WHILE (x1-x0) > eps DO
    xneu:=(x0+x1)/2;  (*Mittelwert*)
    IF f(xneu)*f(x0) > 0
        THEN x0:=xneu;
        ELSE x1:=xneu;
    END;
END

Ausgabe:  xneu